过点M（2,4）做互相垂直的两条直线L1、L2,L1与X轴正半轴交于点A,L2与Y轴正半轴交于点B.

根据已知条件,可知角MAO+角MBO=180度
设角MAO=a,可以求出A点坐标(2+4/tana,0) B(0, 4-2/tana)
三角形AOB的面积=(2+4/tana)(4-2/tana)=8+12/tana-8/(tana)^2=-8(1/tana-3/4)^2+25/2
1/tana=3/4时,三角形AOB的面积最大
A(5,0)　B(0,5/2)
因为角AOB和AMB均为直角,所以四边形AOBM外接圆是以AB为直径,AB中点为圆心的圆.
AB中点(5/2,5/4) AB=2.5根号5 半径=1.25根号5
圆方程
(x-5/2)^2+(y-5/4)^2=125/16