设函数f(x)在区间【0,1】上可导,且f(1)=0,证明至少存在一点$在(0,1)内,使得2$f($)+$*$f'$)=0

做辅助函数F(x)=x² f(x),则函数F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1) 内可导,且F'(x)=2xf(x)+x²f'(x).
F(0)=0,F(1)=f(1)=0,于是由罗尔定理,在(0,1)内,至少存在一点ξ,使得F'(ξ)=0,即有
2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0.