已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
数学人气:616 ℃时间:2020-06-22 16:44:41
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证明:先证必要性:
∵a+b=1,∴b=1-a
∴a
3+b
3+ab-a
2-b
2=a
3+(1-a)
3+a(1-a)-a
2-(1-a)
2=a
3+1-3a+3a
2-a
3+a-a
2-a
2-1+2a-a
2=0
再证充分性:
∵a
3+b
3+ab-a
2-b
2=0
∴(a+b)(a
2-ab+b
2)-(a
2-ab+b
2)=0
即:(a
2-ab+b
2)(a+b-1)=0
∵ab≠0,a
2-ab+b
2=
(a-b)2+b2>0,
∴a+b-1=0,即a+b=1
综上所述:a+b=1的充要条件是a
3+b
3+ab-a
2-b
2=0
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