数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和.
数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.
数学人气:465 ℃时间:2020-01-30 05:53:23
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(1)∵S
n=2a
n-3n,对于任意的正整数都成立,
∴S
n+1=2a
n+1-3n-3,
两式相减,得a
n+1=2a
n+1-2a
n-3,即a
n+1=2a
n+3,
∴a
n+1+3=2(a
n+3),
所以数列{b
n}是以2为公比的等比数列,
由已知条件得:S
1=2a
1-3,a
1=3.
∴首项b
1=a
1+3=6,公比q=2,
∴a
n=6•2
n-1-3=3•2
n-3.
(2)∵na
n=3×n•2
n-3n
∴S
n=3(1•2+2•2
2+3•2
3+…+n•2
n)-3(1+2+3+…+n),
2S
n=3(1•2
2+2•2
3+3•2
4+…+n•2
n+1)-6(1+2+3+…+n),
∴-S
n=3(2+2
2+2
3+…+2
n-n•2
n+1)+3(1+2+3+…+n)
=
3×-6n•2n+∴S
n=
(6n-6)•2n+6-
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