已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π4,0)对称,且在区间[0,π2]上是单调函数,求φ和ω的值.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点
M(,0)对称,且在区间
[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.
数学人气:118 ℃时间:2019-08-19 23:28:33
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由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),
所以-cosφsinωx=cosφsinωx,
对任意x都成立,且w>0,
所以得cosφ=0.
依题设0≤φ≤π,所以解得φ=
,
由f(x)的图象关于点M对称,
得
f(−x)=−f(+x),
取x=0,得f(
)=sin(
+)=cos
,
∴f(
)=sin(
+)=cos
,
∴cos
=0,
又w>0,得
=
+kπ,k=0,1,2,3,…
∴ω=
(2k+1),k=0,1,2,…
当k=0时,ω=
,f(x)=sin(
x+)在[0,
]上是减函数,满足题意;
当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+
)=cos2x,在[0,
]上是减函数,满足题意;
当k=2时,ω=
,f(x)=sin(
x+
)在[0,
]上不是单调函数;
所以,综合得ω=
或2.
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