四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,求证:BD²=AD²+CD²

四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,求证:BD²=AD²+CD²
数学人气:967 ℃时间:2019-08-16 23:43:34
优质解答
证明:如图,连接AC,
∵AD=CD,∠ADC=60°,
∴△ADC是正三角形.
∴DC=CA=AD.
将△DCB绕点C顺时针旋转60°到△ACE的位置,连接EB,
∴DB=AE,CB=CE,∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠BCD-∠ACB=∠ACD=60°,
∴△CBE为正三角形.
∴BE=BC,∠CBE=60°.
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°.
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE2=AB2+BE2.
∴BD2=AB2+BC2.
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