设函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2-lnx+2，其中a∈R，x＞0．是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．
h′(x)＝a+

1

x

−2a2x＝

−2a2x2+ax+1

x

(x＞0)（9分）
令h′（x）=0可得：x2＝−

1

2a

，x1＝

1

a

（舍）（11分）
当0＜x＜−

1

2a

时，h′（x）＞0，h（x）单增；
当x＞−

1

2a

时，h′（x）＜0，h（x）单减，
所以h（x）在x＝−

1

2a

处有极大值，也是最大值．
∴h(x)max＝h(−

1

2a

)≤0解得：a≤−

1

2

e−

3

4

（13分）
所以负数a存在，它的取值范围为a≤−

1

2

e−

3

4

（14分）