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已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
已知a是实数,函数f(x)=x
2
(x-a).
(Ⅰ)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
数学
人气:322 ℃
时间:2019-08-20 09:21:31
优质解答
(I)f'(x)=3x
2
-2ax.因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0.
又当a=0时,f(1)=1,f'(1)=3,则切点坐标(1,1),斜率为3
所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1)化简得3x-y-2=0.
(II)令f'(x)=0,解得
x
1
=0,
x
2
=
2a
3
.
当
2a
3
≤0
,即a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,从而f
max
=f(2)=8-4a.
当
2a
3
≥2
时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,从而f
max
=f(0)=0.
当
0<
2a
3
<2
,即0<a<3,f(x)在
[0,
2a
3
]
上单调递减,在
[
2a
3
,2]
上单调递增,从而
f
max
=
8−4a,0<a≤2.
0,2<a<3.
综上所述,
f
max
=
8−4a,a≤2.
0,a>2.
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