已知正三棱柱内接于一个半径为2的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,

设底面边长为x,则底面三角形的外接圆半径r=(√3/3)x,连接球心与下底面中心及下底面的顶点A形成的三角形为直角三角形；设正三棱柱的高为h,则h/2=√(R^2-r^2)=√[4-(√3x/3)^2]
=(√3/3)√(12-x^2); 侧面积=一个侧面面积的3倍=3xh=6x(√3/3)√(12-x^2)
=(6√3)√[x^2(12-x^2)]=(6√3)√[-(x*2-6)^2+36]
所以当x^2=6;即x=√6时,侧面积最大,最大值=36√3