∵在[a,b]连续的f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b),
∴至少存在点c∈(a,b),使得:f(c)≠f(a)=f(b),
由题意知:f(x)在[a,c]和[c,b]满足拉格朗日中值定理,
∴存在点ξ1∈(a,c)、ξ2∈(c,b),使得:
f(c)−f(a) |
c−a |
f(b)−f(c) |
b−c |
又 f(c)-f(a)和f(b)-f(c)中必有一个大于0,
∴f′(ξ1)、f'(ξ2)中必有一个大于0,
即:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得:f′(ξ)>0,证毕.
f(c)−f(a) |
c−a |
f(b)−f(c) |
b−c |