设A为n阶方阵,AA=A ,证明R（A）+R（A-E）=n

（1）A^2=A,所以A(A-E)=0 所以r(A)+r(A-E)=r(A+E-A)=r(E)=n
所以 r(A)+r(A-E)=nA的所有列向量a1,a2,......an，B的所有列向量b1,b2,......bn r(A)=(a1,a2,......,an)的秩，r(B)=(b1,b2,......bn)的秩(a1,a2,......an)的秩+(b1,b2,......bn)的秩 >= (a1,a2,.....an,b1,b2,......bn)的秩而A+B的列向量组可以用 (a1,a2,......an,b1,b2,......bn)线性表示 所以(a1,a2,......an,b1,b2,......bn)的秩>= A+B的列向量组的秩=A+B的秩