首先,你得知道集合的这个关系式:
n(X) = 2^|X|;
那么,A、B、C的关系就可作如下转化:
n(A) + n(B) + n(C) = n(A∪B∪C);
2^|A| + 2^|B| + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|;
将条件 |A| = |B| = 100 代入上式,得:
2^100 + 2^100 + 2^|C| = 2^101 + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|;
现在,就得用到幂运算的性质了:
上式中,集合的元素个数肯定是整数;
而【2 个底数为 2 的整数次幂相加,结果是另一个底数为 2 的整数次幂】;
这样的等式,只有一种可能:
【两个加数的次幂相等】;
即:|C| = 101;此时,有:
2^101 + 2^101 = 2^102 = 2^|A∪B∪C|;
所以:|A∪B∪C| = 102;
下面,就是集合的并、交问题了:
首先,A、B、C 至少两两相交,否则 A∪B∪C 的元素肯定超过 102 个;不妨先考虑 A、B 两个集合:已知 A、B 各含 100 个元素,那么我们就可以求出它们的“交集”与“并集”的元素个数的关系了:
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 200 - |A∩B|;
还有它们的取值范围:
0 ≤ |A∩B| ≤ 100;
100 ≤ |A∪B| ≤ 200;
本题中:
|A∪B| ≤ 102;
所以:
|A∩B| 的范围就被限定为:100,99,98 这 3 个值;
再把 C 加进来就行了;对 C 的要求就是:
|A∪B∪C| = 102;————————————————①
可分别讨论:
(1)|A∩B| = 100;此时 |A∪B| = 100;根据①可知:
C 必然恰好有 2 个元素不在 A∪B 中,有 99 个在 A∪B 中;
而此时 A∪B = A∩B,即:A∪B 中的【100】个元素全都在 A∩B 中,那么:C 中的那【99】个元素,必然全都在 A∩B 中;所以:
|A∩B∩C| = 99;
(2)|A∩B| = 99;此时 |A∪B| = 101;根据①可知:
C 必然恰好有 1 个元素不在 A∪B 中,有 100 个元素在 A∪B 中;
在 A∪B 中,有【99】个在 A∩B 中,有【2】个不在其中;那么:C 的这【100】个元素,在分配到 A∪B 中时,根据有多少个分到 A∩B 中就有多种可能:
99 + 1:|A∩B∩C| = 99;
98 + 2:|A∩B∩C| = 98;
(3)|A∩B| = 98;此时 |A∪B| = 102;根据①可知:
C 的 101 元素必然全部都在 A∪B 中;
而在 A∪B 中,有【98】个在 A∩B 中,有【4】个不在其中;同(2):C 的这【101】个元素,也有多种可能:
98 + 3:|A∩B∩C| = 98;
97 + 4:|A∩B∩C| = 97;
综合(1)、(2)、(3)可得 |A∩B∩C| 的最小值为:97.
有关集合的
有关集合的
对任意集合X,用n(X)表示X的子集个数,用|X|表示集合X的元素个数.已知集合A,B,C满足n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C),且|A|=|B|=100.求|A∩B∩C|的最小值.
对任意集合X,用n(X)表示X的子集个数,用|X|表示集合X的元素个数.已知集合A,B,C满足n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C),且|A|=|B|=100.求|A∩B∩C|的最小值.
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