已知函数f(x)=(log2x-2)(log4x-1/2) (1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域; (2)若f(x)>mlog2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.
已知函数f(x)=(log
2x-2)(log
4x-
)
(1)当x∈[2,4]时,求该函数的值域;
(2)若f(x)>mlog
2x对于x∈[4,16]恒成立,求m的取值范围.
数学人气:649 ℃时间:2019-08-20 03:05:10
优质解答
(1)f(x)=(log
2x-2)(log
4x-
)
=
(log
2x)
2-
log
2x+1,2≤x≤4
令t=log
2x,则y=
t
2-
t+1=
(t-
)2-
,
∵2≤x≤4,
∴1≤t≤2.
当t=
时,y
min=-
,当t=1,或t=2时,y
max=0.
∴函数的值域是[-
,0].
(2)令t=log
2x,得
t
2-
t+1>mt对于2≤t≤4恒成立.
∴m<
t+
-
对于t∈[2,4]恒成立,
设g(t)=
t+
-
,t∈[2,4],
∴g(t)=
t+
-
=
(t+
)-
,
∵g(t)=
t+
-
在[2,4]上为增函数,
∴当t=2时,g(t)
min=g(2)=0,
∴m<0.
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