正定矩阵的几何意义和应用举例

正定矩阵的几何意义和应用举例
学了它的几个性质,可是没有真正理解,
所以向大家请教正定矩阵的几何意义,并举几个具体应用的例子.
比如特征向量的几何意义是线性变换后方向不变的矢量,应用有：解微分方程,求矩阵的方A^n
PS:请不要只贴定义.答得好的再追加分.
“正定矩阵在对三维空间里的图形进行线性变换时不改变图形的形状”可否简单解释下呢？xxp90，你几何意义讲得很好，那正定矩阵主要用来干嘛呢？映射到同侧有何意义？