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假设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y=1-e-2X在区间(0,1)上服从均匀分布.
假设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明:Y=1-e
-2X
在区间(0,1)上服从均匀分布.
数学
人气:340 ℃
时间:2020-04-03 23:35:41
优质解答
证明:
设X的分布函数为F(X),Y的分布函数为G(Y),
∵X服从参数为2的指数分布,
∴X的分布函数为
F(x)=
1−
e
−2x
,x>0
0
,x≤0
,
又y=1-e
-2x
在(0,1)是单调递增的函数,即0<y<1,且其反函数为:
x=−
1
2
ln(1−y)
,
于是,Y=1-e
-2X
在(0,1)的分布函数为:
G(Y)=P(Y≤y)=P(1-e
-2x
≤y)=
P(x≤−
1
2
ln(1−y))
=
0
,y≤0
1−
e
(−2)[−
1
2
ln(1−y)]
0<y<1
1
y≥1
=
0
y≤1
y
,0<y<1
1
,y≥1
这正是(0,1)区间上的均匀分布.
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