已知抛物线y=a（x-t-2）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是P点，与x轴交于A（2，0）、B两点． （1）①求a的值； ②△PAB能否构成直角三角形？若能，求出t的值：若不能，说明理由． （2）

（1）①把A（2，0）代入y=a（x-t-2）²+t²得：at²+t²=0，┅（2分）
∵t≠0，∴a=-1；┅（3分）
②△PAB能构成直角三角形，理由为：
将a=-1代入抛物线解析式得：y=-（x-t-2）²+t²，
当y=0时，-（x-t-2）²+t²=0，即（x-t-2）²=t²，
开方得：x-t-2=t或x-t-2=-t，
解得：x₁=2，x₂=2t+2，
∴B（2t+2，0），┅（4分）
分两种情况：
（i）当t＞0时，点B在点A的右侧，OA=2，OB=2t+2，
假设△PAB是直角三角形，如图1所示：过P作PQ⊥AB于Q，
则PQ=

1

2

AB，┅（5分）
∵抛物线的顶点坐标为（t+2，t²），
∴PQ=t²，
∵AB=OB-OA=（2t+2）-2=2t，
∴t²=t，即t（t-1）=0，
解得：t₁=1，t₂=0（不合题意舍去）；┅（6分）
（ii）当t＜0时，点B在点A的左侧，
假设△PAB是直角三角形，如图2所示：过P作PQ⊥AB于Q，
同理：PQ=

1

2

AB，
∵AB=OA-OB=2-（2t+2）=-2t，PQ=t²，
∴t²=-t，┅（7分）
即t（t+1）=0，
解得：t₁=-1，t₂=0（不合题意舍去），┅（8分）
则当t=±1时，△PAB是直角三角形；
（2）不妨设点M在点N的左侧，
原抛物线向左平移t个单位后与x轴的交点M（2-t，0）、N（t+2，0），
MN的垂直平分线为直线x=2，垂足为H，┅（9分）
如图3所示，∵CF垂直于y轴时，CF的长度最小，
∴⊙C半径的最小值为2，┅（10分）
此时CM=CF=2，⊙C的最小面积为4π，┅（11分）
∵F（0，-1），∴CH=OF=1，
在Rt△CMH中，MH=OH-OM=2-（2-t）=t，
根据勾股定理得：CH²+MH²=CM²，┅（12分）
∴1²+t²=2²，解得：t₁=

3

，t₂=-

3

（不合题意舍去），┅（13分）
则当t=

3

时，过F、M、N三点圆的面积最小，最小面积为4π．┅（14分）