证明是否存在函数,满足:“处处可导,但导函数处处不连续的”
证明是否存在函数,满足:“处处可导,但导函数处处不连续的”
因为已经知道了,有一种“处处连续,但处处不可导”的函数,但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
因为已经知道了,有一种“处处连续,但处处不可导”的函数,但网上找不到关于这种函数是否存在的论证
数学人气:434 ℃时间:2019-10-11 02:48:05
优质解答
结论是否定的.事实上,闭区间I上可导函数的导函数的连续点集必然是I上的稠密集!可参见周民强著《实变函数论》55页思考题5. 大致思路如下:首先,记f_n(x)=n[f(x+1/n)-f(x)],则f_n是连续函数.由于f处处可导,对每个x∈I,...太深的我也不会啊,其实只是想问个大概思路,知道有没有定论而已:1.稠密集是不是就是Gδ集啊?2.稠密开集合的交非空??3.无内点闭集是零测集吗?以下讨论都是在欧氏空间上进行。1. 不是。稠密集是指其闭包是全集;Gδ型集是指“能表为可数个开集之交”的集合。2. 是的!不但如此,其交还必须是稠密集。可用Baire纲定理证明。3. 不是。零测集是指测度为0的集合。如果没接触过实变函数和拓扑的话,这些概念恐怕不太好理解。但结论是肯定的。哦,无内点闭集和零测集没有必然联系?没有的说~比如类Cantor集(Harnack集),就是一类非空无内点的闭集,测度>0.
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