和等价无穷小有关的题目

和等价无穷小有关的题目
若 x→∞时,f(x)与x是等价无穷小,则 limx→∞2xf(x)=?
不好意思，以下才是(或者请看我的重发):若 x→∞时，f(x)与1/x是等价无穷小，则 lim(x→0时)2xf(x)=？......额……请大家注意一下x的趋势……谢谢(这回我没有打错，x的趋势没错，这是我学校的考题)【回“愿为学子效劳”同时也是声明:如果是0的话，那么f(x)得是有界，如何得知呢？条件是x趋于∞，提问是x趋于0，ps,ps,ps:我没记错！除非题目出错了，但老师没这样说。】【满意答案我会迟些再选出，看看再说】

其他人气：225 ℃时间：2020-04-02 06:55:15

优质解答

好吧.就按这个来：
因f(x)与1/x为无穷小
则lim(x→∞)f(x)=0,lim(x→∞)1/x=0
因f(x)与1/x为等价无穷小
则lim(x→∞)[f(x)/(1/x)]=1
即lim(x→∞)[xf(x)]=1
由此可知f(x)=1/x
所以lim(x→0)[2xf(x)]=2lim(x→0)[x(1/x)]=2lim(x→∞)[xf(x)]=1,可知的是f(x)与1/x为等价无穷小，即f(x)~1/x,不会是f(x)=1/x的这样吧，应该好理因f(x)与1/x为等价无穷小即lim(x→∞)[f(x)/(1/x)]=1即lim(x→∞){[f(x)-(1/x)]/(1/x)}=0于是有f(x)-(1/x)=o[f(x)]即f(x)=1/x+o(f(x))所以lim(x→0)[2xf(x)]=lim(x→0){2x[1/x+o(f(x))]}=lim(x→0)[2+2x*o(f(x))]=2+lim(x→0)[2x*o(f(x))]=2+0=2

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