函数的商的求导法则怎么证的?书上没写啊

[u'(x)/v'(x)]
=lim{[u(x+△x)/v(x+△x)-u(x)/v(x)]/△x}
△x…………0
=lim{[u(x+△x)v(x)-u(x)v(x+△x)]/[v(x+△x)v(x)△x]}
△x…………0
=lim{[u(x+△x)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+△x)-v(x)]}/[v(x+△x)v(x)△x]
△x…………0
=lim{[u(x+△x)-u(x)]v(x)/△x-u(x)[v(x+△x)-v(x)]/△x}/v(x+△x)v(x)
△x…………0
=[u'(x)v(x)-v'(x)u(x)]/v²(x)