由于f(x)连续,则∫(0,x)tf(x-t)dt可导,
由于f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,因此f(x)可导
换元,令x-t=u,则dt=-du,u:x→0
f(x)=e^x-∫[x→0] (x-u)f(u)du
=e^x+∫[0→x] (x-u)f(u)du
=e^x+x∫[0→x] f(u)du-∫[0→x] uf(u)du
两边求导得
f '(x)=e^x+∫[0→x] f(u)du+xf(x)-xf(x)
=e^x+∫[0→x] f(u)du (1)
由∫[0→x] f(u)du可导得:f '(x)可导
(1)两边再求导得:f ''(x)=e^x+f(x) 二阶常系数非齐次线性微分方程
将x=0代入原式得:f(0)=1
将x=0代入(1)得:f '(0)=1
这样问题转化为求解微分方程初值问题
f ''(x)-f(x)=e^x
f(0)=1
f '(0)=1
特征方程为:r²-1=0,解得r=±1
因此齐次方程通解为:C1e^x+C2e^(-x)
设方程特解为:y*=axe^x
代入微分方程解得:a=1/2
因此微分方程通解为:f(x)=C1e^x+C2e^(-x)+(1/2)xe^x
将初始条件f(0)=1,f '(0)=1代入得:f(x)=(3/4)e^x+(1/4)e^(-x)+(1/2)xe^x
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0,x)tf(x-t)dt,求f(x)
数学人气:155 ℃时间:2019-10-19 17:10:51
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1规律发生作用不以人的意志为转移吗?
- 2for the first time和the first time和at the first time有什么区别?
- 3法布尔赞美昆虫的爱情,特别是在描写哪个昆虫那一章更是细致入微?
- 41.The girl in the black bike is her sister .2.Who do at work today 两病句该如何改?
- 5明明今年的身高是85cm,比去年高5cm,明明身高增高了百分之几?
- 6居住地址的英文翻译
- 7一个英语造句问题~
- 8关于自然的名人名言
- 9某公园有一条直径2米的圆形花坛,要在花坛周围修一条宽0.6米的小路
- 10关于x,y二元一次方程组{5x+3y=23:x+y=p}的解是正数,则整数p的值为