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已知函数f ( x )=−acos2x−23asinxcosx+2a+b的定义域为[0 , π2],值域为[-5,1],求常数a,b的值.
已知函数
f
(
x
)=−
a
cos2
x
−2
3
a
sin
x
cos
x
+2
a
+
b
的定义域为
[0 ,
π
2
]
,值域为[-5,1],求常数a,b的值.
数学
人气:909 ℃
时间:2019-09-26 14:39:29
优质解答
∵
f ( x )=-acos2x-2
3
asinxcosx+2a+b
=
-acos2x-
3
asin2x+2a+b
=-2asin(
π
6
+2x)+2a+b,
又∵0≤x≤
π
2
,∴
π
6
≤
π
6
+2x≤
7π
6
,-
1
2
≤sin(
π
6
+2x)≤1,
当a>0时,∵-2a≤-2asin(
π
6
+2x)≤a,∴-2a+2a+b≤f(x)≤a+2a+b,
即 b≤f(x)≤3a+b,∴
b=-5
3a+b=1
,∴a=2,b=-5.
当a<0时,a≤-2asin(
π
6
+2x)≤-2a,∴a+2a+b≤f(x)≤-2a+2a+b,即3a+b≤f(x)≤b,
3a+b=-5
b=1
,∴a=-2,b=1.
综上,a=2,b=-5; 或 a=-2,b=1.
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