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已知二次函数f(x)同时满足下列条件: (1)f(x+1)=f(1-x), (2)f(x)的最大值15, (3)f(x)=0的两根立方和等于17,求f(x)的解析式.
已知二次函数f(x)同时满足下列条件:
(1)f(x+1)=f(1-x),
(2)f(x)的最大值15,
(3)f(x)=0的两根立方和等于17,求f(x)的解析式.
数学
人气:100 ℃
时间:2019-08-30 14:13:57
优质解答
∵二次函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),函数关于x=1对称,
可设f(x)=a(x-1)
2
+b,
∵f(x)的最大值15,
∴x=1时,b=15,且开口向下,
a<0,∴y=a(x-1)
2
+b=ax
2
-2ax+a+15,
设方程两个根为x
1
,x
2
,
可得x
1
+x
2
=2,x
1
•x
2
=
a+15
a
,
∵x
1
3
+x
2
3
=17,
∴(x
1
+x
2
)
3
=x
1
3
+x
2
3
+3x
1
•x
2
(x
1
+x
2
),
∴2
3
=17+3×2×
15+a
a
,解得a=-6,
∴y=-6(x-1)
2
+15;
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