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二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a是正整数),c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5
二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,(a是正整数),c≥1,a+b+c≥1,方程ax
2
+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
数学
人气:519 ℃
时间:2020-03-17 16:46:52
优质解答
设f(x)=a(x-p)(x-q),其中p,q属于(0,1)且p不等于q.
由f(0)≥1及f(1)≥1,可得:apq≥1,a(1-p)(1-q)≥1,
两式相乘有a
2
p(1-p)q(1-q)≥1,即a
2
≥
1
p(1−p)q(1−q)
,
又由基本不等式可得:p(1-p)q(1-q)≤
1
16
由于上式取等号当且仅当p=q=
1
2
与已知矛盾,故上式的等号取不到,
故p(1-p)q(1-q)<
1
16
因此得到a
2
>16即a>4
所以函数f(x)=5x
2
-5x+1满足题设的所有条件,
因此a的最小值为5.
故选D.
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