已知函数f（x）=|x-1|-lnx． （1）求函数f（x）的单调区间及f（x）的最小值； （2）试比较：ln2222+ln3232+…+lnn2n2与(n−1)(2n+1)2(n+1)的大小（n∈N*，且n≥2），并证明你的结论．

（1）当x≥1时，f（x）=x-1-lnx f′（x）=1-

1

x

=

x−1

x

≥0
∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的
当0＜x＜1时f（x）=1-x-lnx f′（x）=-1-lnx＜0
∴f（x）在区间（0，1）上是递减的
f（x）在（0，1）内单调递减，在【1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）有最小值f（1），且f（1）=0
（2）由（1）x＞1时，有x-1-lnx＞0即

lnx

x

＜1-

1

x

∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+ 1−

1

32

+…+1−

1

n2

=n-1+（

1

22

+

1

32

+…+ 

1

n2

）＜n-1-（

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

）=n-1-（

1

2

−

1

3

+

1

3

−

1

4

+…+

1

n

−

1

n+1

）=n-1-（

1

2

−

1

n+1

）=

(n−1)(2n+1)

2(n+1)