X(n+1)=√[2+X(n)]
所以X(n+1)>X(n)
←(表示左箭头,表示分析过程)√[2+X(n)]>X(n)
←2+X(n)>[X(n)]²
←[X(n)]²-X(n)-2<0
←[X(n)-2][X(n)+1]<0
←-1<X(n)<2
而用数学归纳法-1<X(n)<2是容易证明的.因此X(n)单调递增.
PS:
用数学归纳法对-1<X(n)<2是的证明过程:
X(n)显然为正数列,所以X(n)>0>-1;
而X(1)=√2<2,用数学归纳法,假设X(k)<2,那么
X(k+1)=√(2+X(k)<√(2+2)=2
于是X(k+1)<2,
综上,X(n)<2.
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