∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60°.
∵M是AD中点,
∴AM=MD.
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC=60°,∠DMC=∠MCB=60°.
∴△AMB≌△DMC.
∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形.
(2) 在等边△MBC中,MB=MC=BC=4,∠MBC=∠MCB=60°,∠MPQ=60°,
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°.
∴∠BMP=∠QPC.
∴△BPM∽△CQP.
∴
PC |
BM |
CQ |
BP |
∵PC=x,MQ=y,
∴BP=4-x,QC=4-y.
∴
x |
4 |
4-y |
4-x |
∴y=
1 |
4 |
(3) ①当BP=1时,则有BP
| ||
. |
| ||
. |
则四边形BPDM为平行四边形,
∴MQ=y=
1 |
4 |
13 |
4 |
当BP=3时,则有PC
| ||
. |
| ||
. |
则四边形APCM为平行四边形,
∴MQ=y=
1 |
4 |
13 |
4 |
∴当BP=1,MQ=
13 |
4 |
13 |
4 |
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有2个.
②△PQC为直角三角形.
∵y=
1 |
4 |
∴当y取最小值时,x=PC=2.
∴P是BC的中点,MP⊥BC,而∠MPQ=60°,
∴∠CPQ=30°,
∴∠PQC=90°.
∴△PQC是直角三角形.