球编号为a b c d,e f g h,i j k l,取出abcd,efgh
第一种情形:
如果重量相等,则说明所求在 ijkl 中,
称量 i j ,
如果相等,比较 a k ,如果a=k,则所求为 l ;如果ak不等,则所求为 k .
如果不等,比较 a i ,如果a=i,则所求为 j ;如果不等,则所求为 i .
第二种:
如果 abcd 轻,
在efgh中取出 fgh ,替掉abcd中 bcd,从ijkl中取出 ijk 个放入 e 中填补空位:
如果afgh轻:则说明所求在a或e,拿 e 和除 a 以外的任意一球比较,如果重量相等,则所求的球是 a ;如果不等,则所求的球是 e .
如果afgh重:说明所求在 fgh 中,且所求较重;比较 f g ,等重则所求为 h ;不等则重的为所求.
如果一样重:说明所求在 bcd 中,且所求较轻;以下同afgh重的情形.
第三种:
如果 abcd 重,
在efgh中取出 fgh ,替掉abcd中 bcd,从ijkl中取出 ijk 个放入 e 中填补空位:
如果 afgh 重:则说明所求在a或e,拿 e 和除 a 以外的任意一球比较,如果重量相等,则所求的球是 a ;如果不等,则所求的球是 e .
如果afgh轻:说明所求在 fgh 中,且所求较轻;比较 f g ,等重则所求为 h ;不等则重的为所求.
如果一样重:说明所求在 bcd 中,且所求较重;以下同afgh轻的情形.
此题答案就是这样.下面与大家进而探讨称任意球数的通用性.
总结:
天平称重,有两个托盘比较轻重,加上托盘外面,也就是每次称重有3个结果,就是ln3/ln2比特信息.n个球要知道其中一个不同的球,如果知道那个不同重量的球是轻还是重,找出来的话那就是n个结果中的一种,就是有ln(n)/ln2比特信息,如果不知道轻重,找出来就是2n(n个球中的一个,轻或者重,所以是2n)个结果中的一种,那就是ln(2n)/ln2比特信息.
假设我们要称k次,根据信息理论,那显然两种情况就分别有:
(1)k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2 (k>=1) 解得k>=ln(n)/ln3
(2)k*ln3/ln2>=ln(2n)/ln2 (k>1) 解得k>=ln(2n)/ln3
这是得到下限,可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求.比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来,如果不知道轻重就只能从(3^3-1)/2=13个球中找出不同的球出来.
有12个外观完全一样的球,其中有一个与其他质量不等(另11个球等质量)给你一个天平,如何三次把它找出来
有12个外观完全一样的球,其中有一个与其他质量不等(另11个球等质量)给你一个天平,如何三次把它找出来
数学人气:717 ℃时间:2019-10-17 07:14:11
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