已知向量a=(cos3/2x,sin3/2x),b=(cosx/2,-sinx/2).且x∈[0,π2],求:(1)a•b;(2)若f(x)=a•b-2λ|a+b|的最小值是-3/2,求λ的值.

已知向量
a
=(cos
3
2
x,sin
3
2
x)
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
)
.且x∈[0,
π
2
]
,求:
(1)
a
b

(2)若f(x)=
a
b
-2λ|
a
+
b
|的最小值是-
3
2
,求λ的值.
数学人气:779 ℃时间:2019-08-18 23:25:06
优质解答
(1)
a
b
=
(
a
+
b
)
2
=
2+2cos2x
=2cosx(x∈[0,
π
2
])
(2)由(1)知:f(x)=cos2x-4λcosx=2cos2x-4λcosx-1=2(cosx-λ)2-2λ2-1
x∈[0,
π
2
]

∴cosx∈[0,1],
当λ∈[0,1]时,f(x)min=-2λ2-1,而f(x)min=-
3
2

所以-2λ2-1=-
3
2
,λ=
1
2

当λ<0时,f(x)min=f(
π
2
)
=2λ2-2λ2-1=-1,
f(x)min=-
3
2
,不符合题意.
当λ>1时,f(x)min=f(0)=2-4λ-1=-4λ+1,而f(x)min=-
3
2

所以-4λ+1=-
3
2
,λ=
5
8
这与λ>1矛盾
综上述λ的值为
1
2
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