如图,已知△ABC,以边BC为直径的圆与边AB交于点D,点E为弧BD的中点,AF为△ABC角平分线,且AF⊥EC. (1)求证:AC与⊙O相切; (2)若AC=6,BC=8,求EC的长.
如图,已知△ABC,以边BC为直径的圆与边AB交于点D,点E为弧BD的中点,AF为△ABC角平分
线,且AF⊥EC.
(1)求证:AC与⊙O相切;
(2)若AC=6,BC=8,求EC的长.
数学人气:849 ℃时间:2019-10-11 17:38:58
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(1)证明:如图,连接BE,
∵AF是∠BAC的角平分线,AF⊥EC,
∴∠ACH=∠AHC.
∵∠BHE=∠AHC,
∴∠ACH=∠BHE.
∵E是
|
BD |
的中点,
∴∠EBD=∠BCE.
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BEC=90°.( 3分)
∴∠EBH+∠BHE=90°.
∴∠BCE+∠ACE=90°.
∴AC是⊙O的切线.(4分)
(2)在Rt△ABC中,
∵AC=6,BC=8,
∴AB=10.
又∵∠ACH=∠AHC,
∴AH=AC=6.
∴BH=AB-AH=10-6=4.(6分)
∵∠EBH=∠ECB,
∴△EBH∽△ECB.
∴
=
=
.
在Rt△EBC中,
∵EC=2EB,BC=8,
∵EC
2+EB
2=BC
2∴EC=
.
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