已知abcd是不全为0的实数,函数f(x)=bx²+cx+d,g(x)=ax³+bx²+cx+d,方程f(x)=0有实根
已知abcd是不全为0的实数,函数f(x)=bx²+cx+d,g(x)=ax³+bx²+cx+d,方程f(x)=0有实根
根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实根都是f(x)=o的根.
1.求d的值
2.若a=0,求b的取值范围
3.若a=1,f(x)=0,求c的取值范围
根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实根都是f(x)=o的根.
1.求d的值
2.若a=0,求b的取值范围
3.若a=1,f(x)=0,求c的取值范围
数学人气:224 ℃时间:2019-08-18 16:17:40
优质解答
(一)因g(x)=ax³+bx²+d,故g[f(x)]=af³(x)+bf²(x)+d.又因方程f(x)=0与g[f(x)]=0同解,故若m是方程f(x)=0的根,则必有f(m)=0,且g[f(m)]=0.即g[f(m)]=g(0)=d=0.∴d=0.(二)当a=0时,f(x)=bx²+cx=x(bx+c),g(x)=bx².g[f(x)]=bf²(x)=bx²(bx+c)².由题设可知,两方程x(bx+c)=0,bx²(bx+c)²=0同解.又a,b,c,d不全为0,故此时必有b≠0,而c∈R.(三)若a=1,f(1)=0,===>b+c=0.则有f(x)=-cx(x-1).g(x)=x³-cx²=x²(x-c),g[f(x)]=f²(x)[f(x)-c]²=-c³x²(x-1)²(x²-x+1),由题设知,方程-cx(x-1)=0与-c³x²(x-1)²(x²-x+1)同解.易知,当c≠0时,两方程的解均为0,1.同解.当c=0时,两方程的解均为R.故此时c∈R.
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