已知双曲线X^2/9 - Y^2/16=1 ,过其右焦点F的直线交双曲线于PQ两点,PQ的垂直平分线交X轴于点M,则

双曲线x^2/9-y^2/16=1,则：a=3,b=4,c=5,右焦点F(5,0),右准线：x=9/5.
当直线PQ的斜率不存在时,易知：|MF|=0,所以|MF|/|PQ|=0.
当直线PQ的斜率存在时,设为k,又设点P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1>0,x2>0)
则：k=(y2-y1)/(x2-x1),直线PQ：y=k(x-5).
又点P,Q在双曲线上,所以x1^2/9-y1^2/16=1,x2^2/9-y2^2/16=1,
两式相减得：(x1^2-x2^2)/9=(y1^2-y2^2)/16,
PQ的中点( (x1+x2)/2,(y1+y2)/2 ),
PQ的垂直平分线：y-(y1+y2)/2=-1/k*[x-(x1+x2)/2],
所以点M( (x1+x2)/2+k(y1+y2)/2,0 ),
又k=(y2-y1)/(x2-x1),(x1^2-x2^2)/9=(y1^2-y2^2)/16,
所以点M( 25(x1+x2)/18,0 ),
所以|MF|=|25(x1+x2)/18 -5|.
而|PQ|=|PF|+|QF|,
P到右准线的距离d1为：x1-9/5,Q到右准线的距离d2为：x2-9/5,
由双曲线的定义可知：|PF|/d1=|QF|/d2=e=5/3,
所以|PQ|=|PF|+|QF|=5/3(x1+x2-18/5),
所以|MP|/|PQ|=5/6.
方法就是这样,你自己再去算算吧.