第一个问题:
设点C关于直线L的对称点为D,连AD与直线L的交点就是满足条件的点P.
下面证明点P是满足条件的:
∵C、D关于直线L对称,∴PC=PD,∴PA+PC=PA+PD=AD.
在直线L上取点P外的任意一点Q,则:A、D、Q连成一个三角形角,∴QA+QD>AD.
显然有:QC=QD,∴QA+QC>AD.
∴点P是使(PA+PD)最小的点,而AC是定值,∴此时△PAC的周长最小.
∴点P是满足条件的点.
下面求出点P的坐标:
∵y=-x^2+2x+3=-x^2+2x-1+4=-(x-1)^2+4,
∴抛物线的对称轴L的方程是:x=1.
在y=-x^2+2x+3中,令y=3,得:-x^2+2x=0,∴x(x-2)=0,∴x=0,或x=2.
∴点D的坐标是(2,3).
∴AD的斜率=(0-3)/(-1-2)=1,∴AD的方程是:y=x+1.
令y=x+1中的x=1,得:y=2.
∴点P的坐标是(1,2).
第二个问题:
设存在满足条件的点M(1,m),使△MAC是等腰三角形.
一、当AM=AC时,(-1-1)^2+(0-m)^2=(-1-0)^2+(0-3)^2=10,
∴m^2=6,∴m=√6,或m=-√6.
∴此时点M的坐标是(1,√6),或(1,-√6).
二、当CM=AC时,(0-1)^2+(3-m)^2=10,∴(3-m)^2=9,
∴3-m=3,或3-m=-3,∴m=0,或m=6.
∵抛物线方程是:y=-(x-1)^2+4,∴m≦4,∴m=6不合理,应舍去.
∴此时点M的坐标是(1,0).
三、当CM=AM时,(0-1)^2+(3-m)^2=(-1-1)^2+(0-m)^2,
∴1+(3-m)^2=4+m^2,∴(3-m)^2-m^2=3,
∴[(3-m)+m][(3-m)-m]=3,∴3-2m=1,∴2m=2,∴m=1.
∴此时点M的坐标是(1,1).
综上可知,满足条件的点M是存在的,坐标是:
(1,√6),或(1,-√6),或(1,0),或(1,1).
已知抛物线y=﹣x²+2x+3经过A﹙﹣1,0﹚,B﹙3,0﹚,C﹙0,3﹚三点,直线L是抛物线的对称轴.
已知抛物线y=﹣x²+2x+3经过A﹙﹣1,0﹚,B﹙3,0﹚,C﹙0,3﹚三点,直线L是抛物线的对称轴.
﹙1﹚设点P是直线L上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标
﹙2﹚在直线L上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形.若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标.若不存在,请说明理由
﹙1﹚设点P是直线L上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标
﹙2﹚在直线L上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形.若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标.若不存在,请说明理由
数学人气:635 ℃时间:2020-03-09 02:58:39
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