已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）． （1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式； （2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且

（1）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴-1，2是方程ax²+（b-2）x+c=0的两个根
∴

1 ＝ 2−b a −2＝ c a

①
∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根即
ax²+bx+c+3a=0有两个相等的实根
∴△=b²-4a（c+3a）=0②
解①②得a＝

2

3

，b＝

4

3

，c＝−

4

3

∴f(x)＝

2

3

x2+

4

3

x−

4

3

（2）根据题意得f(x)＝ax2+(2−a)x−2a＝a(x+

2−a

2a

)2+

−8a2−(2−a)2

4a

∵a＞0，所以f（x）的最小值为

−8a2−(2−a)2

4a

则

−8a2−(2−a)2

4a

≤−3a
得−2≤a≤

2

3

由G(x)＝f(x)−

1

3

x3−ax2−

3

2

x在R上是减函数，
G′(x)＝−x2 +

1

2

−a ≤0在R上恒成立
∴

1

2

−a≤0
得到a≥

1

2

，
综上所述

1

2

≤a≤

2

3