平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注:n^2=n的平方)
证法一
(归纳猜想法):
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6 则当N=x+1时,1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6 =(x+1)(2x+3)(x+2)/6 =(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6 也满足公式 4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二
(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1):(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.把这n个等式两端分别相加,得:(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代入上式得:n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得:1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
1^+2^+3^+4^+…+n^怎么算?(其中^为平方符号)
1^+2^+3^+4^+…+n^怎么算?(其中^为平方符号)
请问N代表什么,用这个公式必须要求首项是1的平方吗?
请问N代表什么,用这个公式必须要求首项是1的平方吗?
数学人气:984 ℃时间:2019-08-18 11:30:05
优质解答
我来回答
类似推荐
猜你喜欢
- 1已知函数f(x)=inx-(1/2)ax^2+bx (a>0)且f'(1)=0 证是否存在”中值相依切线”
- 2已知函数f(x)=lnx.(1)若直线y=x+m与函数f(x)的图像相切,求实数m的值;(2)证明曲线y=f(x)与曲线y=x-1/x有唯一的公共点;
- 3若x^2+y^2+2x-8y+17=0,求 x^2009+xy的值
- 4这些字做姓时的读音
- 5将1至9这九个数分别填入下图三角形,使三角形边的四个数字和等于20,且
- 6用四则运算的符号+,-,x,/,可以加括号,把1,3,4,7组成结果为24的算式为?
- 7描写夜晚恐怖的句子
- 8在美国height 5.11(身高5.11)体重65换算成在中国是多高
- 9swim stand的过去式
- 10化学式 Co3什么意思哈