已知各项均为正数的数列{an},对于任意正整数n,点(an,sn)在直线y=1/2(x2+x)上.求证:数列{an}是等差数列.
已知各项均为正数的数列{an},对于任意正整数n,点(an,sn)在直线y=1/2(x2+x)上.求证:数列{an}是等差数列.
数学人气:908 ℃时间:2020-01-29 01:26:28
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∵点(an,sn)在直线y=1/2(x2+x)上∴Sn=1/2(an^2+an)∴an=Sn-S(n-1)=1/2(an^2+an)-1/2(a[n-1]^2+a[n-1])即1/2(an^2-an)-1/2(a[n-1]^2+a[n-1])=0即(an^2-an)-(a[n-1]^2+a[n-1])=0即(an^2-a[n-1]^2)-(a[n-1]+an)=0即(a[n-1]+an)(an-a[n-1]-1)=0(n≥2) 又∵{an}各项均为正数的数列∴an+a[n-1]≠0 ∴an-a[n-1]-1=0即an-a[n-1]=1=d a1=S1=1/2(a1^2+a1)解得a1=1 ∴an=a1+(n-1)d=n(n≥2)又a1满足an=n∴综上an=n 为等差数列
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