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设P是60°的二面角α-l-β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,则AB的长为_.
设P是60°的二面角α-l-β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,A,B为垂足,PA=4,PB=2,则AB的长为______.
数学
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时间:2019-10-19 02:22:10
优质解答
设平面PAB与二面角的棱l交于点Q,
连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB,
∵P是60°的二面角α-l-β内一点,PA⊥平面α,PB⊥平面β,
∴∠AQB是二面角α-l-β的平面角,∴∠AQB=60°,
∴△PAB中,∠APB=180°-60°=120°,PA=4,PB=2,
由余弦定理得:
AB
2
=PA
2
+PB
2
-2PA•PAcos120°
=4
2
+2
2
-2×4×2×(-
1
2
)=28,
∴AB=
28
=2
7
.
故答案为:
2
7
.
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