就是构造2n阶的矩阵D(这里用分块矩阵表示)
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵,易得|D| = |A||B|
(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0的n阶对角矩阵)
下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换(具体过程很繁琐,略去)变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵,矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ...+ a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1,n + 2,.,2n列,将行列式按块展开,
D = (-1)^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
(C是对角线全为-1的对角矩阵,其行列式的值易求得)
即有|D| = |AB|
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