已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,PA=PC=2,PB=PD. (Ⅰ)若O是AC与BD的交点,求证:PO⊥平面ABCD; (Ⅱ)若点M是PD的中点,求异面直线AD与CM所成角的余弦值.

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,PA=PC=2,PB=PD.

(Ⅰ)若O是AC与BD的交点,求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)若点M是PD的中点,求异面直线AD与CM所成角的余弦值.
数学人气:342 ℃时间:2019-10-19 20:16:39
优质解答
证明:(Ⅰ)连接AC与BD交于点O,连OP.
∵PA=PC,PD=PB,且O是AC和BD的中点,
∴PO⊥AC,PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)取PA的中点N,连接MN,则MN∥AD,
则∠NMC就是所求的角,
根据题意得MN=1,NC=
3
,PD=
6

所以,MC=
PC2−PM2
4−
6
4
10
2

故  cos∠NMC=
MN2+MC2−NC2
2MN•MC
10
20
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