已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1． （Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求CC1到平面A1AB的距离； （Ⅲ）求二面角A-A1B-C的大小

（I）证明：因为A₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）
（II）因为AC₁⊥A₁C，所以四边形AA₁C₁C为菱形，
故AA₁=AC=2，又D为AC中点，知∠A₁AC=60°．
取AA₁中点F，则AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC＝2，CF＝

3

，故CH＝

2 21

7

，
即CC₁到平面A₁AB的距离为CH＝

2 21

7

（9分）
（III）过H作HG⊥A₁B于G，连CG，则CG⊥A₁B，
从而∠CGH为二面角A-A₁B-C的平面角，
在Rt△A₁BC中，A₁C=BC=2，所以CG＝

2

，
在Rt△CGH中，sin∠CGH＝

CH

CG

＝

42

7

，
故二面角A-A₁B-C的大小为arcsin

42

7

．（14分）