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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ADC和△ABE是等边三角形,DE交AB于点F,求证:F是DE的中点.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,△ADC和△ABE是等边三角形,DE交AB于点F,求证:F是DE的中点.
数学
人气:986 ℃
时间:2019-08-19 19:30:08
优质解答
如图所示,过点E作EG⊥AB,
∵△ABE是等边三角形,EG⊥AB,
∴AG=BG=
1
2
AB,
由勾股定理得:EG=
3
AG,
∵∠BAC=30°,
∴BC=
1
2
AB,
∴AG=BC=
1
2
AB,
∵由勾股定理得:AC=
3
BC,
∴EG=AC,
∵∠DAB=60°+30°=90°,
∴DA⊥AB.
∴DA∥EG.
∴∠ADE=∠FEG,∠DAF=∠FGE=90°,
在△ADF与△GEF中,
∵
∠ADE=∠FEG
∠DAF=∠FGE=90°
EG=AD
,
∴△ADF≌△GEF(AAS),
∴DF=EF.
即F为DE的中点.
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