若不等式1n+1+1n+2+…+12n>m72对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为( ) A.43 B.42 C.41 D.40
若不等式
++…+>对于大于1的一切正整数n都成立,则正整数m的最大值为( )
A. 43
B. 42
C. 41
D. 40
数学人气:846 ℃时间:2019-08-18 21:43:52
优质解答
n=2时,
+>,∴m<42.
而m是正整数,所以取m=42.
下面用数学归纳法证明:
++…+
>
.
(1)当n=2时,已证;
(2)假设当n=k时,不等式成立,即
++…+
>
.
则当n=k+1时,有
+…+++>
+
+−因为
+−>0,
所以
+…+++>
.
所以当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切正整数n,都有:
++…+
>
.
故选C.
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