符号说明:∫(x→x+1)f(t)dt 表示函数f(t)的定积分,其中积分下限是 x ,上限是 x+1 ;
∑(k:1→n) 表示从第1项到第n项求和;
下证函数列 fn(x) = ∑(k:1→n)[1/n*f(x+k/n)] 一致收敛到函数g(x) = ∫(x→x+1)f(t)dt .
因为f(x)在R上连续,那么f(x)在任意的闭区间上都是可积的.任取 x∈[a,b],在积分区间[x,x+1]
上,定积分∫(x→x+1)f(t)dt 的定义是这样的:
任取ε>0 ,存在δ>0 ,使得对[x,x+1]上任意的分法:
x = x(0) < x(1) < x(2) < x(3) < .< x(n) = x + 1
令 λ = max{ △(1),△(2),.,△(n)} ,其中 △(k)=x(k)-x(k-1) (k=1,2,...,n) ,
当 |λ|0 ,使得当 n>N1 时,有 1/n < δ ;那么对于下面的分法:
x = x(0) < x+1/n < x+2/n < x+3/n < .< x+n/n = x + 1
△(k)=x(k)-x(k-1)=1/n ,则 λ = max{ △(1),△(2),.,△(n)} = 1/n ;
当 n>N1 时,有 λ = 1/n < δ ,那么对任意的 y(k)∈(x+(k-1)/n,x+k/n) ,有
|∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] -∫(x→x+1)f(t)dt| < ε ,由于△(k)=1/n ,
即 |∑(k:1→n)[(1/n)*f(y(k))] -∫(x→x+1)f(t)dt| < ε
仔细看上述证明,N1是取决于x的,下面我构造一种方法,使得N1不依赖于x ;
由于f(x)在R上连续,自然在[a,b+1]上连续,
所以f(x)在[a,b+1]上是可积的,积分值是∫(a→b+1)f(t)dt ;类似上述过程,有
对任给的ε>0 ,存在δ>0 ,使得对[a,b+1]上的分法:
a = x(0) < a+(b+1-a)/n < a+2(b+1-a)/n < a+3(b+1-a)/n < .< a+n(b+1-a)/n = b + 1
令 λ = max{ △(1),△(2),.,△(n)} ,其中 △(k)=(b+1-a)/n (k=1,2,...,n) ,
存在N,使得当 n>N1 时,|λ|=(b+1-a)/nN1 时,|∑(k:1→n)[1/n*f(y(k))] -∫(a→b+1)f(t)dt| < ε
由于在积分限[a,b+1]上的和式 ∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] 是收敛的,
任取 x∈[a,b],因为f(x)是连续的,在积分限[x,x+1]做的和式 ∑(k:1→n)[△(k)*f(y(k))] 也是
收敛的,且极限值是∫(x→x+1)f(t)dt ;如果x和x+1这两个点正好是上述[a,b+1]分法中的两个分
点,那么就取 N1=N,当n>N2时,有 |∑(k:1→n)[1/n*f(y(k))] -∫(x→x+1)f(t)dt| < ε
如果x和x+1有一个不是分点的话,由于f(x)在[a,b+1]上连续,所以有界,即 |f(x)|0,存在d>0,当[a,b+1]上的x1和x2满足|x1-x2|
猜你喜欢
- 1一段电阻为5欧的导体,每通过30库量时,电流做150焦的功,则通电时间是 秒
- 2如图 在△ABC中,H是高,H是高AD和BE的交点,AD=BD,求证:DH=DC.
- 3y=sin(x/2-π/6)只需将函数y=sinx/2图像向_平移_个单位
- 4初一上学期数学教学目标检测第16页第三题
- 5他看见了什么?英文翻译
- 6已知数列{an}的前n项和为Sn,又a1=2,nAn+1=sn+n(n+1),求数列{an}的通项公式
- 7化学用锌和硫酸制取氢气的反应中有孔塑料板为什么可以调整与硫酸反应的速率
- 8努力奋斗怎么用一个字形容
- 9我们中大部分人喜欢英语.翻译成英语.----------like English-------------.
- 10The one million people of the city,who()(没把...当一回事)