已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：（1）角C的度数；（2）求三角形ABC面积的最大值．

记角A、角B、角C的对边分别为a、b、c
（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∵1-tanAtanB≠0，
∴tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=1，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，
∵C∈（0，π），∴C=

3π

4

；
（2）由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²得：
a²+b²+2×

2

2

ab=4，即a²+b²+

2

ab=4，
而4-

2

ab=a²+b²≥2ab，即ab≤4-2

2

，
所以S_△ABC=

1

2

absinC=

2

4

ab≤

2

4

（4-2

2

）=

2

-1．