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设函数f(x)=x•ekx(k≠0)((ekx)′=kekx) (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)的单调区间.
设函数f(x)=x•e
kx
(k≠0)((e
kx
)′=ke
kx
)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
数学
人气:104 ℃
时间:2019-09-25 14:11:30
优质解答
(1)f′(x)=e
kx
+kxe
kx
=(1+kx)e
kx
(x∈R),且f′(0)=1,
∴切线斜率为1,
又f(0)=0,
∴曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x-y=0.
(2)f′(x)=(kx+1)e
kx
(x∈k),令f′(x)=0,得x=-
1
k
,
①若k>0,当x∈(-∞,-
1
k
)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-
1
k
,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
②若k<0,当x∈(-∞,-
1
k
)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-
1
k
,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,k>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,-
1
k
),单调递增区间为(-
1
k
,+∞);
k<0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-
1
k
),单调递减区间为(-
1
k
,+∞);
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