求一个旋转体体积(定积分)

求一个旋转体体积(定积分)
摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,y=0,绕直线y=2a
我是画不出图形...根本做不出来...
数学人气:586 ℃时间:2020-01-27 21:25:29
优质解答
旋转轴 y=2a 正好位于摆线顶端,旋转体体积:V=∫π[4a²-(2a-y)²]dx,x积分区间是一个拱圈[0,2πa];
以参数方程表示,V=8π²a³-∫π(2a-a+acost)²*a(1-cost)dt,t=[0,2π];
V=8π²a³-πa³∫(1+cost)²(1-cost)dt=8π²a³-πa³∫(1+cost)sin²t dt
=8π²a³-πa³∫sin²t dt=8π²a³-πa³∫(1-cos2t)dt/2=8π²a³-πa³/2;

由参数方程知,y 的取值范围[0,2a] ;

当从 t=0 开始记,第一个周期(即摆线第一拱)0≤t≤2π,即 0≤x≤2πa(对应y:0≤y≤2a);

至于函数图像,可查阅标准摆线方程图;

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