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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F, 求证:EF=FD.
已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△ACD,DE与AB交于F,
求证:EF=FD.
数学
人气:426 ℃
时间:2020-02-05 07:26:17
优质解答
证明:过E作EG丄AB于G,
如图,
∵△ABE为等边三角形,
∴BG=
1
2
AB,∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,AE=AB,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,
∴BC=
1
2
AB,
∴AG=BC,
在Rt△EAG和Rt△ABC中
AE=AB
AG=BC
,
∴Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),
∴EG=AC,
∵△DAC为等边三角形,
∴AC=AD,∠DAC=60°,
∴EG=AD,∠DAF=30°+60°=90°,
在Rt△EFG和Rt△DFA中
EG=DA
∠EFG=∠DFA
∠EGF=∠DAF
,
∴△EFG≌△DFA,
∴EF=FD.
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