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P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,P与两焦点连线互相垂直,且P到两准线距离分别为6、12,则椭圆方程为 ⊙ _ .
P是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)上任意一点,P与两焦点连线互相垂直,且P到两准线距离分别为6、12,则椭圆方程为 ⊙ ___ .
数学
人气:625 ℃
时间:2019-08-17 21:44:54
优质解答
因为P到两准线距离分别为6、12,不妨设P到左准线距离为6,那么12+6=2
a
2
c
,即
a
2
c
=9
因为椭圆上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率e,
所以|PF
1
|=6e,|PF
2
|=12e
又因为PF
1
垂直于PF
2
,
所以|F
1
F
2
|
2
=(6e)
2
+(12e)
2
=180e
2
=4c
2
,
所以a
2
=45
由
a
2
c
=9得c=5,
∴b
2
=a
2
-c
2
=20
因此,椭圆方程为
x
2
45
+
y
2
20
=1
故答案为
x
2
45
+
y
2
20
=1
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