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若关于x的方程kx+1=lnx有解,则实数k的取值范围是 _ .
若关于x的方程kx+1=lnx有解,则实数k的取值范围是 ___ .
数学
人气:399 ℃
时间:2020-04-09 19:37:10
优质解答
设f(x)=lnx-kx-1
则f′(x)=
1
x
-k=
1-kx
x
(x>0)
若k≤0,则f′(x)>0,f(x)为(0,+∞)上的增函数,∵x→0时,f(x)→-∞,∴f(x)有且只有一个零点,即此时方程kx+1=lnx有解
若k>0,则f(x)在(0,
1
k
)上为增函数,在(
1
k
,+∞)上为减函数
要使函数f(x)有零点,需f(
1
k
)≥0
即-lnk-2≥0
解得:k≤
1
e
2
∴0<k≤
1
e
2
时,f(x)有零点,即此时方程kx+1=lnx有解
综上所述:k≤
1
e
2
故答案为 (-∞,
1
e
2
]
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