已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…). (Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列; (Ⅲ)求Sn.
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3;
(Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列;
(Ⅲ)求Sn.
数学人气:940 ℃时间:2020-03-29 06:14:21
优质解答
(Ⅰ)由S
n=2a
n+n
2-4n,
当n=1时,a
1=2a
1+1-4,可得a
1=3.a
n+1=S
n+1-S
n=2a
n+1+(n+1)
2-4(n+1)-2a
n-n
2+4n,
可得a
n+1=2a
n-2n+3.
可得a
2=7,a
3=13.
(Ⅱ)由a
n+1=2a
n-2n+3可得,
===2.
又a
1-2×1+1=2.
所以数列{a
n-2n+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得,a
n-2n+1=2
n.
所以a
n=2n-1+2
n.
又S
n=2a
n+n
2-4n,
可得S
n=2
n+1+n
2-2.
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