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求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根.
求所有正实数a,使得方程x
2
-ax+4a=0仅有整数根.
数学
人气:394 ℃
时间:2019-08-21 18:36:27
优质解答
设两整数根为x,y,
则
x+y=a>0
xy=4a>0
,
∴
a=
x
2
x−4
,
∵a是正实数,
∴
x
2
x−4
>0,
由于x
2
≥0,(而a是正实数)
∴x-4>0,即x>4,
而x是整数,
∴x最小取5.
又∵原方程有根,
∴△=b
2
-4ac=a
2
-4×1×4a=a
2
-16a≥0,
∵a是正实数,
∴a≥16,
∴当x=5时,a=25>16,y=20;x=6时,a=18,y=12;x=7时,a=
49
3
,y=
28
3
(y不是整数,故舍去);x=8时,a=16,y=8.
于是a=25或18或16均为所求.
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